Счастливые числа

Однажды в Принстоне я сидел в комнате отдыха и случайно услышал, как математики говорят о ряде для $e^x$, который выглядит как $1 + x + x^2/2! + x^3/3!$ Каждый последующий член ряда получается при умножении предыдущего члена на $x$ и его делении на следующее порядковое число. Например, чтобы получить член, следующий за $x^4/4!$, нужно умножить этот член на $x$ и разделить на 5. Все очень просто. Когда я был ребенком, я просто восхищался рядами и нередко забавлялся с ними. С помощью ряда, о котором шла речь, я вычислял $e$ и видел, как быстро уменьшаются последующие члены. Я пробормотал что-то вроде того, как легко можно вычислить любую степень $e$ с помощью этого ряда (достаточно просто подставить эту степень вместо $x$). -- Да? -- сказали они. «Отлично, чему равно $e$ в степени 3,3?» -- спросил какой-то шутник. По-моему, это был Таки. Я говорю: «Легко. 27,11». Таки знает, что вычислить это в уме совсем нелегко. «Эй! Как тебе это удалось?» Другой парень говорит: «Ну вы же знаете Фейнмана, он просто выдумал это число. На самом деле оно неправильное». Они идут за таблицей, а я тем временем добавляю еще несколько цифр. «27,1126», -- говорю я. Они находят число в таблице. «Правильно! Но как ты это сделал?» -- Я просто суммировал ряд. -- Никто не умеет суммировать ряды так быстро. Ты, видимо, просто знал это число. А чему равно $e$ в степени 3? -- Слушайте, -- говорю я. -- Это сложная работа! Я могу посчитать только одну степень в день! -- Ага! Это надувательство! -- обрадовались они. -- О'кей, -- говорю я. -- 20,085. Пока они ищут число в книжке, я добавляю еще несколько цифр. Теперь они возбуждаются, потому что я правильно назвал еще одно число. Итак, все великие математики современности озадачены тем, как мне удается подсчитать любую степень $e$! Один из них говорит: «Не может быть, чтобы он просто подставлял это число и суммировал ряд -- это слишком сложно. Тут есть какой-то трюк. Ты не сможешь вычислить какое угодно число, например, $e$ в степени 1,4». Я говорю: «Да, работа не из легких. Но для вас, так и быть. 4,05». Пока они ищут ответ, я добавляю еще несколько цифр и говорю: «Все, на сегодня это последнее», и выхожу из комнаты. Произошло же следующее. Я случайно знал три числа: натуральный логарифм 10 (который нужен, чтобы переводить числа от основания 10 к основанию $e$), который равен 2,3026 (поэтому я знал, что $e$ в степени 2,3 примерно равно 10), а из-за радиоактивности (средняя продолжительность жизни и период полураспада) я знал натуральный логарифм 2, который равен 0,69315 (поэтому я также знал, что $e$ в степени 0,7 равно почти 2). Кроме того, я знал, что $e$ (в степени 1) равно 2,71828. Сначала меня попросили возвести $e$ в степень 3,3. Это все равно, что $e$ в степени 2,3 (то есть 10), умноженное на $e$, то есть 27,18. Пока они старались понять, как мне это удалось, я внес поправку на лишние 0,0026: 2,3026 -- слегка завышенное число. Я знал, что не смогу вычислить следующее число. Мне просто повезло, когда парень назвал $e$ в степени 3: это $e$ в степени 2,3, умноженное на $e$ в степени 0,7 (или 10, умноженное на 2). Итак, я знал, что это 20 с чем-то, а пока они раздумывали над тем, как мне это удалось, я внес поправку на 0,693. Ну уж теперь-то я был уверен, что не смогу вычислить следующее число, но мне опять повезло. Парень попросил посчитать е в степени 1,4, а это $e$ в степени 0,7, умноженное на само себя. Так что все, что мне пришлось сделать, так это чуть-чуть подкорректировать четверку! Они так никогда и не поняли, как мне это удалось. Когда я был в Лос-Аламосе, я обнаружил, что Ханс Бете умеет превосходно считать. Например, как-то раз мы подставляли числа в формулу и дошли до возведения в квадрат числа 48. Я потянулся за калькулятором Маршан, он же сказал: «Это 2300». Я начинаю нажимать кнопки, а он говорит: «Если тебе нужно знать точно, то ответ 2304». Машина говорит 2304. «Класс! Это же просто здорово!» -- говорю я. -- Разве ты не знаешь, как возводят в квадрат числа, близкие к 50? -- говорит он. -- Возводишь в квадрат 50, это 2500, а потом вычитаешь 100, умноженное на разность нужного тебе числа и 50 (в данном случае эта разность равна 2), получается 2300. Если хочешь получить точный результат, возведи эту разность в квадрат и прибавь к полученному числу. Так и получается 2304. Через несколько минут нам понадобилось взять кубический корень из 2,5. Чтобы взять кубический корень с помощью калькулятора Маршан, нужно воспользоваться таблицей для первого приближения. Я открываю ящик, чтобы взять эту таблицу, -- на этот раз времени требуется немного больше, -- а он говорит: «Примерно 1,35». Я проверяю результат на Маршане, и он оказывается правильным. «А как ты это сделал? -- спрашиваю я. -- Ты владеешь секретом того, как брать кубический корень из числа?» -- О, -- говорит он, -- логарифм 2,5 равен стольки-то. Треть этого логарифма находится между логарифмом 1,3, который равен стольки-то, и логарифмом 1,4, который равен стольки-то, так что я просто применил метод интерполяции. Итак, кое-что я выяснил: во-первых, он наизусть знает таблицы логарифмов, а во-вторых, один только объем арифметических действий, которые он проделал во время интерполяции, отнял бы у меня больше времени, чем если бы я просто подошел к столу и понажимал кнопки калькулятора. На меня это произвело колоссальное впечатление. После этого я тоже пытался проделать что-либо подобное. Я запомнил значения нескольких логарифмов и начал замечать, что происходит. Например, если кто-то спрашивает: «Чему равно 28 в квадрате?», замечаешь, что квадратный корень из двух равен 1,4, а 28 -- это 20, умноженное на 1,4, поэтому 28 в квадрате должно примерно равняться 400, умноженному на 2, или 800. Если кто-нибудь спрашивает, сколько получится, если разделить 1 на 1,73, то можно сразу ответить, что 0,577, потому что знаешь, что 1,73 -- это почти квадратный корень из 3, поэтому 1/1,73 равно одной трети квадратного корня из 3. А если нужно определить отношение 1/1,75, оно равно величине обратной дроби 7/4, а вы помните, что если в знаменателе стоит 7, то десятичные цифры повторяются: 0,571428... Меня очень забавляли мои собственные попытки быстрого выполнения арифметических действий с помощью хитрых приемов, а в особенности состязание с Хансом. Однако заметить что-либо, что упустил он, и указать ему на ответ мне удавалось крайне редко, но, когда все же удавалось, он от души смеялся. Он обладал уникальной способностью почти всегда находить ответ на любую задачу в пределах одного процента. Для него это не составляло особой сложности: каждое число было близко к какому-то другому, которое он знал. Однажды я пребывал в особенно хорошем расположении духа. В техническом отделе был обеденный перерыв, и я не знаю, как такая идея могла прийти мне в голову, но я заявил: «За шестьдесят секунд я могу дать ответ с точностью до 10 процентов на любую задачу, которую кто-либо сумеет сформулировать за десять секунд!» Люди начали давать мне задачи, которые казались им сложными, например, проинтегрировать функцию типа $1/(1+x^4)$, которая практически не изменяется в названном ими диапазоне. Самой сложной задачей, которую мне дали, было определить биномиальный коэффициент $x^{10}$ в выражении $(1 + x)^{20}$. Я это сделал ровно за 60 секунд. Все давали мне задачи, я чувствовал себя великим, когда в столовую вошел Пол Олам. До приезда в Лос-Аламос какое-то время Пол работал вместе со мной в Принстоне и всегда оказывался умнее меня. Например, однажды я в рассеянности играл одной из мерных лент, которые при нажатии кнопки, возвращаясь в рулетку, врезаются в руку. Лента все время слегка поворачивалась, и мне было немного больно. «Ой! -- воскликнул я. -- Ну и осел же я. Я продолжаю играть с этой штукой, а она каждый раз причиняет мне боль». Он сказал: «Ты ее неправильно держишь», взял эту чертову штуковину, вытащил ленту, нажал кнопку, и она вернулась точно на место, не причинив ему боли. -- Здорово! Как ты это делаешь? -- воскликнул я. -- Догадайся! В течение следующих двух недель я хожу по Принстону, щелкая рулеткой и пытаясь загнать ленту на место, до тех пор пока на моей руке не остается живого места. Наконец, мое терпение лопает. «Поль! Я сдаюсь! Как, черт побери, ты держишь эту штуковину, что она не ранит твою руку?» -- А кто говорил, что не ранит? Мне тоже бывает больно! Я почувствовал себя полным идиотом. Он сумел сделать так, что я две недели издевался над своей рукой! Так вот, Пол проходит по столовой, где все просто стоят на ушах. «Эй, Пол! -- кричат они. -- Фейнман -- просто супер! Мы даем ему задачу, которую можно сформулировать за десять секунд, и он за одну минуту дает ответ с точностью до 10 процентов. Дай ему какую-нибудь задачу!» Почти не останавливаясь, он говорит: «Тангенс 10 градусов в сотой степени». Я влип: для этого нужно делить на число пи до ста десятичных разрядов! Это было безнадежно! Однажды я похвастался: «Я могу решить любой интеграл, который все остальные могут решить только с помощью интегрирования по контуру, другими способами». Тогда Пол пишет мне просто огромный чертов интеграл, который он получил, начав с комплексной функции, ответ которой он знал. Он убрал вещественную часть этой функции и оставил лишь мнимую. Он развернул функцию так, что единственным возможным способом решения интеграла осталось интегрирование по контуру! Он все время подставлял мне такие подножки. Он был очень умен. Когда я впервые попал в Бразилию, я как-то раз обедал, не помню во сколько, -- я постоянно приходил в ресторан не вовремя, -- поэтому и оказался единственным посетителем. Я ел рис с бифштексом (который обожал), а неподалеку стояли четыре официанта. Тут в ресторан вошел японец. Я уже раньше видел его: он бродил по городу, пытаясь продать счеты. Он начал разговаривать с официантами и бросил им вызов, заявив, что может складывать числа быстрее, чем любой из них. Официанты не хотели потерять лицо, поэтому сказали: «Да, да, конечно. А почему бы Вам не пойти к тому посетителю и не устроить соревнование с ним?» Этот человек подошел ко мне. Я попытался сопротивляться: «Я плохо говорю на португальском!» Официанты засмеялись. «С числами это не имеет значения», -- сказали они. Они принесли мне карандаш и бумагу. Человек попросил официанта назвать несколько чисел, которые нужно сложить. Он разбил меня наголову, потому что пока я писал числа, он уже складывал их. Тогда я предложил, чтобы официант написал два одинаковых списка чисел и отдал их нам одновременно. Разница оказалась небольшой. Он опять выиграл у меня приличное время. Однако японец вошел в раж: он хотел показать, какой он умный. «Multiplicao!^28.1» -- сказал он. Кто-то написал задачу. Он снова выиграл у меня, хотя и не так много, потому что я довольно прилично умею умножать. А потом этот человек сделал ошибку: он предложил деление. Он не понимал одного: чем сложнее задача, тем у меня больше шансов победить. Нам дали длинную задачу на деление. Ничья. Это весьма обеспокоило японца, потому что он явно прекрасно умел выполнять арифметические операции с помощью счет, а тут его почти победил какой-то посетитель ресторана. «Raios cubicos!» -- мстительно говорит он. Кубические корни! Он хочет брать кубические корни с помощью арифметики! Трудно найти более сложную фундаментальную задачу в арифметике. Должно быть, это был его конек в упражнениях со счетами. Он пишет на бумаге число -- любое большое число -- я до сих пор его помню: 1729,03. Он начинает работать с этим числом и при этом что-то бормочет и ворчит: «Бу-бу-бу-хм-гм-бу-бу», -- он трудится как демон! Он просто погружается в этот кубический корень! Я же тем временем просто сижу на своем месте. Один из официантов говорит: «Что Вы делаете?» Я указываю на голову. «Думаю!» -- говорю я. Затем пишу на бумаге 12. Еще через какое-то время -- 12,002. Человек со счетами вытирает со лба пот и говорит: «Двенадцать!» «О, нет! -- возражаю я. -- Больше цифр! Больше цифр!» Я знаю, что, когда с помощью арифметики берешь кубический корень, то каждая последующая цифра требует большего труда, чем предыдущая. Это работа не из легких. Он опять уходит в работу и при этом бормочет: «Уф-фыр-хм-уф-хм-гм...». Я же добавляю еще две цифры. Наконец, он поднимает голову и говорит: «12,0!» Официанты просто светятся от счастья. Они говорят японцу: «Смотрите! Он делает это в уме, а Вам нужны счеты! И цифр у него больше!» Он был абсолютно измотан и ушел, побежденный и униженный. Официанты поздравили друг друга. Каким же образом посетитель выиграл у счетов? Число было 1729,03. Я случайно знал, что в кубическом футе 1728 кубических дюймов, так что было ясно, что ответ немногим больше 12. Излишек же, равный 1,03, -- это всего лишь одна часть из почти 2000, а во время курса исчисления я запомнил, что для маленьких дробей излишек кубического корня равен одной трети излишка числа. Так что мне пришлось лишь найти дробь 1/1728, затем умножить полученный результат на 4 (разделить на 3 и умножить на 12). Вот так мне удалось получить целую кучу цифр. Несколько недель спустя этот человек вошел в бар того отеля, в котором я остановился. Он узнал меня и подошел. «Скажите мне, -- спросил он, -- как Вам удалось так быстро решить задачу с кубическим корнем?» Я начал объяснять, что использовал приближенный метод, и мне достаточно было определить процент ошибки. «Допустим, Вы дали мне число 28. Кубический корень из 27 равен 3...» Он берет счеты: жжжжжжжжжжжжжжжж -- «Да», -- соглашается он. И тут до меня доходит: он не знает чисел. Когда у тебя есть счеты, не нужно запоминать множество арифметических комбинаций; нужно просто научится щелкать костяшками вверх-вниз. Нет необходимости запоминать, что 9 + 7 = 16; ты просто знаешь, что когда прибавляешь 9, то нужно передвинуть десятичную костяшку вверх, а единичную -- вниз. Поэтому основные арифметические действия мы выполняем медленнее, зато мы знаем числа. Более того, сама идея о приближенном методе вычисления была за пределами его понимания, несмотря на то, что зачастую невозможно найти метод точного вычисления кубического корня. Поэтому мне так и не удалось научить его брать кубический корень или объяснить, как мне повезло, что он выбрал число 1729,03.