Next: Телепаты
Up: Принстонские годы
Previous: Смешивание красок
В Принстонском выпускном колледже у физического и
математического отделений была общая комната отдыха, где каждый
день в четыре часа мы пили чай. Кроме того, что это была имитация
жизни в английском колледже, это был своеобразный способ
расслабиться днем. Ребята рассаживались по комнате, играли в го или
обсуждали теоремы. В те дни великой вещью была топология.
Я все еще помню такую сцену: один парень сидит на диване, усиленно
думает о чем-то, а второй стоит перед ним и говорит: «А следовательно
это и это истинно».
-- Но почему? -- спрашивает парень, сидящий на диване.
-- Но это же тривиально! Это тривиально! -- говорит стоящий парень
и быстро, без остановки, выкладывает ряд логических шагов. --
Сначала принимаем, что это равно тому, затем получаем вот это и это
Керчоффа; затем применяем теорему Уэйффенстоффера, подставляем
это и строим это. Затем ставим вектор, который поворачивается здесь, а
потом так и так... Парень, который сидит на диване, изо всех сил
старается понять все это объяснение, которое произносится очень
быстро в течение пятнадцати минут!
Наконец, стоящий парень подходит к ответу с другой стороны, и
парень, который сидит, говорит: «Да, да. Это тривиально». Мы,
физики, смеялись над ними, пытаясь понять, о чем же они говорят. Мы
решили, что «тривиальный» значит «доказанный». Поэтому мы
подшучивали над математиками: «У нас есть новая теорема:
математики могут доказать только тривиальные
теоремы, потому что каждая теорема, которая
доказана, тривиальна».
Математикам наша теорема не нравилась, и я все время
поддразнивал их. Я говорил, что у них не случается ничего
удивительного -- математики способны доказать только очевидное.
Топология же для математиков была далеко не очевидной. Она
содержала всяческие виды странных возможностей, которые
«противоречили интуиции». Тогда меня осенило. Я бросил им вызов:
«Клянусь, что вы не сможете назвать мне ни одной теоремы -- каковы
допущения и как звучит теорема я могу понять, -- чтобы я не смог
моментально сказать, является ли она истинной или ложной».
Зачастую это происходило так. Они объясняли мне: «У тебя есть
апельсин, так? Теперь ты разрезаешь этот апельсин на конечное
количество кусочков, складываешь их обратно в апельсин, и он
становится таким же большим как солнце. Истина или ложь?»
-- Между кусочками нет пространства? -- Нет.
-- Невозможно! Такого просто не может быть.
-- Ха! Попался! Идите все сюда! Это теорема Того-то о безмерной
мере!
И когда им кажется, что они поймали меня, я напоминаю им: «Но
вы сказали апельсин! А апельсиновую кожуру невозможно разрезать на
кусочки тоньше атомов».
-- Но у нас есть условие непрерывности. Мы можем резать
бесконечно!
-- Нет, вы сказали апельсин, поэтому я принял, что вы имеете в
виду настоящий апельсин.
Так что я всегда выигрывал. Если я угадывал -- здорово. Если не
угадывал, то всегда мог найти в их упрощении что-то, что они
упускали из виду.
На самом деле я не всегда тыкал пальцем в небо: обычно под моими
догадками была определенная основа. Я придумал схему, которой
пользуюсь и по сей день, когда кто-то объясняет мне что-то, а я
пытаюсь это понять: я придумываю примеры. Скажем, в комнату
входят математики в чрезвычайно возбужденном состоянии с
потрясающей теоремой. Пока они рассказывают мне условия этой
теоремы, я в уме строю нечто, что подходит ко всем ее условиям. Это
легко: у вас есть множество (один мяч), два непересекающихся
множества (два мяча). Затем, по мере роста количества условий, мои
мячики приобретают цвет, у них отрастают волосы или что-нибудь
еще. Наконец, математики выдают какую-то дурацкую теорему о мяче,
которая совсем не подходит к моему волосатому зеленому мячику.
Тогда я говорю: «Ложь!»
Если я угадал, то они возбуждаются еще сильнее, я еще немного
слушаю их, а потом привожу свой контрпример.
-- Ой! Мы же забыли тебе сказать, что это второй класс
Хаусдорфова гомоморфизма.
-- Ну что же, -- говорю я. -- Это тривиально! Это тривиально! К
тому времени я уже понимаю, куда ветер дует, хотя и не знаю, что
такое Хаусдорфов гомоморфизм.
Я обычно давал правильный ответ, потому что, хотя математики и
считают, что их топологические теоремы противоречат интуиции, на
самом деле они не так сложны, как кажется. Можно привыкнуть к
забавным свойствам этого процесса нарезания на ультрамелкие дольки
и научиться довольно точно угадывать, что же получится в итоге.
Несмотря на то, что я причинял математикам немало хлопот, они
всегда хорошо ко мне относились. Математики составляли веселую
мальчишечью компанию, которая все время что-нибудь придумывала и
жутко радовалась своим достижениям. Они постоянно обсуждали свои
«тривиальные» теоремы и всегда старались объяснить тебе что-нибудь,
если ты задавал простой вопрос.
У нас с Полом Оламом была общая ванная комната. Мы
подружились, и он попытался научить меня математике. Мы дошли до
гомотопических групп, где я и сдался. Однако все, что было до этого, я
понял довольно прилично.
Но одну вещь я так никогда и не выучил -- интегрирование по
контуру. Я научился брать интегралы с помощью различных методов,
описанных в книге, которую мне дал мой школьный учитель физики,
мистер Бадер.
Однажды он велел мне остаться после уроков. «Фейнман, -- сказал
он, -- Вы слишком много болтаете и шумите. Я знаю, почему. Вам
скучно. Поэтому я дам вам книгу. Вы сядете на заднюю парту, в углу, и
будете изучать эту книгу. Когда Вы будете знать все, что в ней
написано, Вы можете снова разговаривать».
Итак, на каждом уроке физики я не обращал ни малейшего внимания
на то, что происходит с законом Паскаля и чем вообще занимается
класс. Я садился на заднюю парту с книгой Вудса «Дифференциальное
и интегральное исчисление». Бадер знал, что я уже изучил, хотя и не
полностью, «Математический анализ для практиков», поэтому он дал
мне настоящий труд, который предназначался для студентов первого
или второго курса колледжа. В нем описывались ряды Фурье, функции
Бесселя, определители,
эллиптические функции -- все те замечательные
понятия, о которых я не имел ни малейшего представления.
В этой книге было также написано, как дифференцировать
параметры под знаком интеграла -- это определенная операция.
Оказалось, что ей не особо учат в университетах; там ей не уделяют
должного внимания. Но я научился использовать этот метод и снова и
снова применял этот чертов инструмент. Так что, будучи самоучкой и
учившись по этой книге, я знал особые методы интегрирования.
В результате, когда ребята в МТИ или в Принстоне мучались с
каким-нибудь интегралом, это происходило потому, что они не могли
взять его с помощью стандартных методов, которые узнали в школе.
Они могли лишь взять интеграл по контуру или найти разложение в
простой ряд. Потом приходил я и пытался продифференцировать это
выражение под знаком интеграла; часто мне это удавалось. Вот так я
завоевал репутацию человека, умеющего брать сложные интегралы,
только потому, что мой набор инструментов отличался от всех других,
а все другие приглашали меня, только перепробовав все свои
инструменты.
Anthon
2003-05-22